L’algèbre est genereuse, elle donne souvent plus qu’on lui demande
Jean le Rond D’Alembert
Molts dels continguts que trobaràs en un primer curs d’àlgebra lineal ja els coneixes: sistemes d’equacions lineals, vectors i matrius, determinants… això és un avantatge, però també pot ser un inconvenient, perquè, si més no, en començar el curs, et pot semblar una pèrdua de temps estudiar novament allò que ja saps i potser et resistiràs a aprendre tècniques noves per atacar problemes que ja saps resoldre. Fora un error; perquè les primeres passes del curs (tal com l’enfoquem ací) van destinades a mostrar-te una eina molt simple, però ben poderosa: les operacions elementals i les matrius elementals, que són la base dels algorismes d’esglaonament i amb les quals tractarem gairebé tots els problemes del curs: començarem discutint i resolent els sistemes lineals fent servir les operacions elementals, però de seguida trobarem el rang d’una matriu, la matriu inversa, les factoritzacions LU i QR, les bases dels subespais, el rang i la imatge de les aplicacions lineals… fent operacions elementals. Fins i tot els determinants, els calcularem fent servir les operacions elementals.
Veuràs que el curs l’he dividit en quatre \emph{llibres}; el quart llibre conté les solucions completes de tots els exercicis, però els tres primers porten uns títols curiosos: \(\mathsf A\vec x=\vec b\), \(f(\vec x)=\mathsf A\vec x\) i \(\mathsf A=\mathsf U\Sigma\mathsf V^*\). Això, aquests noms, correspon a tres punts de vista sobre el que és (o com es tracten els problemes a) l’àlgebra lineal: com l’estudi dels sistemes d’equacions lineals, les matrius i els vectors; com l’estudi dels espais vectorials i les aplicacions lineals; o com la factorització de les matrius com a producte de matrius que tenen una estructura determinada (la qual cosa equival a la recerca de les bases més adequades per a tractar un problema determinat).
El primer punt de vista sembla el més simple, però condueix ràpidament als altres dos; el segon és el més abstracte i també el tradicional (si parlem d’una tradició no massa antiga). Si regires per la bibliografia, hi trobaràs molts manuals d’àlgebra lineal que comencen amb la definició dels espais vectorials. El tercer ens mostra molt bé els aspectes geomètrics dels problemes i té força aplicacions pràctiques. Ja ho va dir D’Alembert: l’àlgebra és generosa.
El curs està fet de capítols i els capítols de lliçons. Al final de cada lliçó s’inclou un resum esquemàtic, amb les idees i les propietats principals que s’hi ha exposat, una llista d’exercicis que, com ja hem dit adés, es troben resolts al llibre quart, No cal que et recorde que és el text complet (i no només el resum) que cal estudiar i que els exercicis els has de resoldre pel teu compte (com va dir Halmos, l’única manera d’aprendre matemàtiques és fer matemàtiques). i, en unes poques lliçons, un apèndix que conté alguna demostració que no em semblava necessari d’incloure al text principal.
Al final de tot, hi trobaràs un epíleg que resumeix esquemàticament els aspectes més importants del curs. Més que un resum global i exhaustiu, és una visió unificada dels blocs de contingut més destacats (…)