El nombre \(e\) l’hem trobat quan passem de l’interès compost al continu. Però, ben mirat, aquest nombre apareix sempre que ens trobem amb una funció que creix (o decreix) proporcionalment al seu propi valor, especialment en tots els processos naturals relacionats amb el creixement.
En veurem dos exemples: el d’un punt es mou en línia recta a una velocitat proporcional a la distància que ha recorregut i el d’un element radioactiu es desintegra a un ritme proporcional a la quantitat de material que encara no s’ha desintegrat.
Velocitat proporcional a la distància recorreguda
Un punt es desplaça en línia recta a una velocitat proporcional a la distància que ja ha recorregut. Suposem, quan comencem a mesurar el temps i la posició, el punt ha recorregut \(x_0\) metres i volem saber quina serà la posició quan hagen passat \(t\) segons més.
Això ho podem representar com una funció: anomenem \(f(t)\) a la distància recorreguda en els \(t\) primers segons. El que sabem és que \(f(0)=x_0\) i el que volem calcular és \(x=f(t)\). Com que la velocitat és proporcional a la distància, hi ha una altra funció important: la funció velocitat instantània, \(v(t)=\alpha f(t)\). Els matemàtics anomenem derivada de \(f\) a aquesta funció i la representem com \(f'(t)\): en el nostre exemple, \(f'(t)=\alpha f(t)\).
Una solució (ben poc acurada) seria aquesta: com que la velocitat en el instant \(0\) és \(\alpha x_0\), quan passen \(t\) segons s’hauran recorregut \(\alpha x_0 t\) metres, així que la nova posició serà \(x=f(t)\approx x_0+\alpha x_0t\) metres.
Hem escrit \(f(t)\approx…\) en comptes de \(f(t)=…\) perquè aquesta solució no és exacta, atés que la velocitat creix instantàniament, de manera que en l’interval de temps des del instant \(0\) fins a \(t\) haurà recorregut una longitud més gran que no aquesta. Tot i això, és clar que quan més petit siga el temps transcorregut més bona serà l’aproximació, de manera que si en primer lloc aproximem la posició en la meitat de temps, \(f(t/2)\approx x_0(1+\alpha t/2)\) i a continuació recalculem el moviment en la segona meitat del temps, des de \(t/2\) fins a \(t\) obtindrem \[x=f(t)\approx \left(x_0+\alpha x_0 \frac t2\right) + \alpha\left(x_0+\alpha x_0\frac t2\right)\frac t2 = x_0\left( 1 +\displaystyle\frac {\alpha t}2\right)^2\]
Podeu comprovar, com exercici (quan els matemàtics no tenim ganes de fer alguna cosa que ens sembla avorrida, la deixem com exercici) que si dividim l’interval en tres subperiodes de durada \(t/3\) obtindrem \(x\approx x_0\left( 1 + \frac {\alpha t}3\right)^3\). Podem anar fent els subintervals més i més petits; si dividim en \(n\) subperiodes, tindrem \(x\approx x_0\left( 1 + \frac {\alpha t}n\right)^n\). I ja ho tenim! en el límit,\[x=x_0 \mathrm e^{\alpha t}\]
Aquest és un curset molt elemental i informal de matemàtiques, però acabem de resoldre (informalment, si us poseu perepunyetes), ni més ni menys que un problema d’equacions diferencials: hem trobat la solució de l’equació \(f'(t)=\alpha f(t)\) que satisfà la condició inicial \(f(0)=x_0\).
Desintegració radioactiva
Els elements radioactius es desintegren d’acord amb una llei probabilística: un àtom radioactiu es desintegra o no en un moment determinat de manera aleatòria, però cada element es caracteritza per una probabilitat característica de desintegrar-se, de manera que si el nombre d’àtoms que encara no s’han desintegrat és suficientment gran, podem assumir que la velocitat de desintegració en l’instant \(t\) serà proporcional a la quantitat d’àtoms no desintegrats. En termes matemàtics, si \(x=f(t)\) és la quantitat no desintegrada al instant \(t\), la velocitat de desintegració serà \(f'(t)=\alpha t\). Si en el moment que comencem a estudiar el fenòmen (anomenem-lo instant zero) hi ha una quantitat \(x_0\), el problema a resoldre és: trobar la solució de l’equació \(f'(t)=\alpha f(t)\) que satisfà la condició inicial \(f(0)=x_0\).
I, això, ja ho hem resolt: la solució és \(x=f(t)=x_0 \mathrm e^{\alpha t}\). El valor de la constant \(\alpha\) és negatiu (perquè la funció \(f(t)\) és decreixent) i característic de cada substància radioactiva: ni ha que es desintegren molt ràpidament i n’hi que ho fan molt lentament. Per determinar-lo es fa servir la semivida de l’element, és a dir, el temps \(T\) que una quantitat de materia \(x_0\) tarda a quedar reduïda a la meitat, \(f(T)=x_0/2\): \[f(T)=\frac{x_0} 2 \Longleftrightarrow \frac{x_0}2=x_0 \mathrm e^{\alpha T} \Longleftrightarrow \frac{1}2= \mathrm e^{\alpha T}\]
Si ja coneixeu els logaritmes, sabreu que \(\frac12=\mathrm e^{-\log 2}\) (i, si no, ho sabreu després de llegir el proper capítol de la sèrie). Per tant, \(\mathrm e^{-\log 2}= \mathrm e^{\alpha T}\), la qual cosa vol dir que \(-\log 2= \alpha T\) i \(\alpha=-\frac{\log 2}T\). En definitiva, la quantitat de materia que resta per desintegrar després d’un període \(t\) és \(x=x_0\mathrm e^{-\left(\log 2\right)\frac{t}{T}}\), on \(T\) és la semivida de l’element en qüestió i \(\log 2\approx0.6931472\).
Per acabar, veurem com es fa servir tot això en una tècnica de datació molt popular.
Allò del carboni 14
A la natura s’hi troben tres isòtops de Carboni: \({}^{12}C\), \({}^{13}C\) i \({}^{14}C\). Els dos primers són estables, però el tercer és radioactiu. I se sap que, en els organismes vius hi ha una proporció constant entre el carboni 12 i el carboni 14; aquesta proporció és igual a la que hi ha a l’atmosfera: aproximadament, \(1{,}2\cdot 10 ^{-12}\) àtoms de carboni 14 per cada àtom de carboni 12, perquè la quantitat de carboni 14 que es desintegra (es transforma en nitrogen 14, que no és radioactiu) és equivalent a la que s’assimila a través de la fotosíntesi i l’alimentació. Però, quan l’organisme mor deixa d’assimilar nous àtoms de carboni 14, de manera que, com que aquest es va desintegrant, la proporció de carboni 12 augmenta, així que quant més temps porta mort menor és la proporció de carboni 14. Per tant, per esbrinar quants anys fa que morí l’arbre amb que fou construïda una roda el que necessitem és mesurar quant de carboni 14 es conserva a la fusta. I això sabem que és \(x=x_0\mathrm e^{-\left(\log 2\right)\frac{t}{T}}\). La semivida del carboni 14 és de 5730 anys, així que si mesurem el temps en anys, \(T=5730\) (Willard Libby, el químic que va formular el sistema de datació per carboni 14 va calcular que la semivida era de 5568 anys, però actualment es calcula en 5730). Cal dir que aquesta tècnica no és del tot precisa, perquè se sap que la concentració de carboni 14 no és constant al llarg del temps, de manera que en la datació es té també en compte aquesta variació.
Però, alto! Suposem que mesurem la quantitat \(x\) de carboni 14 que queda en la fusta. El que volem esbrinar és quant val \(t\) si \(x=x_0\mathrm e^{-\left(\log 2\right)\frac{t}{T}}\)? Cal que aïllem \(t\), que apareix en l’exponent al costat dret d’aquesta igualtat. Per a fer-ho haurem de fer servir la funció inversa de l’exponencial. D’això, en parlarem al capítol següent.
Els deures
Exercici 1: Ham dit que la semivida del carboni 14 és de 5730 anys. Això vol dir que en un termini de 11460 anys s’haura estingit la totalitat de carboni 14 que hi ha actualment en una determinada mostra? Si no és així, quina quantitat hi restarà?
