12 de juny de 2024

La historia del tauler d’escacs i els grans de blat

Diuen que el califa (o el rei de l’Índia, ves a saber), meravellat pel joc dels escacs, li va dir, a l’inventor del joc, que li donaria allò que li demanés, a la qual cosa l’inventor li respongué que volia un gra de blat pel primer escac del tauler, dos grans pel segon, quatre pel tercer, vuit pel quart i així, sempre doblant el nombre de grans, fins arribar a l’últim escac. El comanador dels creients es queda sorprès de que aquell home es conformara amb tan poca cosa… però aquell home sabia matemàtiques, així que igual no demanava tan poc com creia el califa. Quants grans de blat li estava demanant l’inventor?

Es tracta d’una progressió geomètrica, \(1,2,2^2,2^3,\dots,2^{63}\) que cal sumar: el nombre total de grans és la suma \(S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}\). Segurament us van ensenyar la fórmula per calcular aquesta suma i, probablement, l’haureu oblidada. Però no us preocupeu, perquè farem la suma sense recordar aquella fórmula:

Si la suma \(S=1+2+2^2+2^3+\dots+2^{63}\) la multipliquem per \(2\) obtindrem que \(2S=2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}\) i si ara restem \(2S-S\) resultarà que \begin{align*}S=2S-S&=\phantom{-1+{}}2+2^2+2^3+\dots+2^{63}+2^{64}\\&\phantom{= }-1-2-2^2-2^3+\dots-2^{63}\\&=-1+2^{64}\textrm{ (perquè quasi tot els termes estan sumats i restats!: \(2-2,2^2-2^2,\dots, 2^{63}-2^{63}\))}\end{align*}

El califa només ha de donar-li, a l’inventor dels escacs, \(2^{64}-1\) grans de blat. Si feu servir una calculadora obtindreu que \(2^{64}-1\approx 18{,}4\times 10^{18}\), és a dir, més de 18 trilions de grans de blat (el resultat exacte és \(2^{64}-1=18_3446.744_2073.709_1551.615\)).

Per fer-nos una idea del que això representa, hem cercat informació a la xarxa sobre la producció de blat i hem trobat, en aquest enllaç, que la producció mundial de blat en l’últim any ha estat de \(781{,}31\) milions de tones. Si sabem quant pesa un gra de blat (o, millor, quants grans de blat entren en una tona) podrem estimar quina porció d’aquesta producció haurà d’adquirir el califa per complir la seua promesa. En aquest enllaç se’ns informa que el pes de 1000 grans de cereal es mou normalment entre 30 i 50 grams. Així que, perquè el nombre de grans que necessitem no siga excessivament gran, pensarem que son grans ben grossos: 1000 grans pesen 50 grams. Això vol dir que en un quilo de blat entren \(1000\cdot1000/50=20000\) grans. Així que amb una senzilla regla de tres, \begin{align*} 2\times 10^4 \text{ grans}\hspace{1cm} &—& 1 \text{Kg} \\ 18{,}4\times 10^{18} \text{ grans}\hspace{1cm} &—& x \end{align*} trobem que \(18{,}4\times 10^{18}\) grans fan \(x=\frac{18{,}4\times 10^{18}}{2\times 10^4}=9{,}2\times 10^{14}\) quilos, és a dir, \(920000\) milions de tones.

Com que en un any es cullen \(781{,}31\) milions de tones, el califa necessita \[\frac{920000}{781{,}31}=1177{,}51\] la producció mundial de blat de 1177 anys per a pagar el deute. No res.

L’Eliana, 9 de novembre de 2023

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *