12 de juny de 2024

Una fórmula perfecta. Capítol primer: la fórmula

Tan perfecta com sorprenentment simple. La famosa fórmula d’Euler:

\[\mathbf{e^{\pi i}+1=0}\]

Si em passeu l’exageració, en aquesta fórmula es resumeixen tots els manaments de la Llei i dels Profetes (que Sant Mateu em perdone) de les matemàtiques. Hi apareixen els cinc nombres més importants: \(\mathbf 0\), \(\mathbf 1\), \(\mathbf \pi\), \(\mathbf i\) i \(\mathbf e\).

És una fórmula sorprenent, perquè expressa una relació molt simple entre cinc nombres que, aparentment, no tenen cap relació: el nombre \(\mathbf{\pi}\) és la longitud d’una circumferència de diàmetre unitari; \(\mathbf{𝖾}\) es pot interpretar com la taxa d’interès en un crèdit que actualitza el deute instantàniament; \(\mathbf{𝗂}\) és un nombre que ens hem inventat per poder calcular l’arrel quadrada d’un nombre negatiu; \(\mathbf 1\) i \(\mathbf 0\) són dos nombres enters, els neutres de la suma i el producte. Amb dos nombres transcendents i un nombre imaginari fem una multiplicació i una potència, \(\mathbf{e^{\pi i}}\), i el resultat és \(\mathbf{-1}\). Increïble, no?

Potser algú que sàpiga una mica de matemàtiques us dirà que, això, és una trivialitat: que, com que \(\mathbf{e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)}\), doncs

\[\mathbf{e^{\pi i}=e^{0+\pi i}=e^0(\cos \pi+i\sin \pi)}=1(-1+i0)=-1\]

Però, clar, llavors la pregunta és aquesta: per quins set sous \(\mathbf{e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b)}\)? Què té a veure una potència (o la funció exponencial, si ens posem fins) amb el sinus i el cosinus? En capítols propers anirem esbrinant-ho.

L’Eliana, 17 de gener de 2023

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *