Definició de l’exponencial complexa
Recordem que vam definir el nombre \(\mathrm e\) com un límit: \(\mathrm e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}n\right)^n\). De manera més general, sabem que, si \(x\) és un nombre real, \(\mathrm e^{x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}n\right)^n\). I, d’altra banda, la propietat fonamental de la funció exponencial és aquesta: \(\mathrm e^{x+y}=\mathrm e^{x}\mathrm e^{y}\).
En conseqüència, si volem estendre la funció a tots els nombres complexos, i si \(z=x+\mathrm iy\), s’haurà de complir també que \(\mathrm e^{x+\mathrm iy}=\mathrm e^{x}\mathrm e^{\mathrm iy}\); però, com que \(\mathrm e^x\) ja és conegut, només haurem d’ampliar la definició a \(\mathrm e^{\mathrm iy}\). I, en principi, allò més raonable és definir-ho d’aquesta manera:
Definició: \(\mathrm e^{\mathrm iy}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{\mathrm iy}n\right)^n\)
Lògicament, això serà correcte si demostrem que aquest límit (complex!) existeix.
La demostració (intuïtiva) geomètrica
Si calculem els valors de \(\left(1+\frac{\pi\mathrm i}n\right)^n\) per a distints nombres \(n\) i quan \(n\) siga bastant gran els resultats van sent sensiblement pròxims entre ells, probablement serà que la successió és convergent i el valor límit serà el que anomenarem \(\mathrm e^{\pi\mathrm i}\).
Així que començarem calculant \(\left(1+\frac{\pi\mathrm i}1\right)^1\), \(\left(1+\frac{\pi\mathrm i}3\right)^3\), \(\left(1+\frac{\pi\mathrm i}4\right)^4\)… Els primers valors els podem trobar fàcilment:
\begin{align*}\left(1+\frac{\pi\mathrm i}1\right)^1&\approx 1+3{,}1416\mathrm i \\\left(1+\frac{\pi\mathrm i}2\right)^2&=1^2+2\cdot1\cdot\frac{\pi\mathrm i}2+\left(\frac{\pi\mathrm i}2\right)^2=1+\pi\mathrm i+\frac{\pi^2(-1)}4=1-\frac{\pi^2}{4}+\pi\mathrm i\approx -1{,}4674 + 3{,}1416\mathrm i\\\left(1+\frac{\pi\mathrm i}3\right)^3&=1^3+3\cdot1^2\cdot\left(\frac{\pi\mathrm i}3\right)+3\cdot1\cdot\left(\frac{\pi\mathrm i}3\right)^2+\left(\frac{\pi\mathrm i}3\right)^3=1+\pi\mathrm i+\frac{\pi^2}3(-1)+\frac{\pi^3}{27}(-\mathrm i)=1-\frac{\pi^2}3+\left(\pi-\frac{\pi^3}{27}\right)\mathrm i\approx -2.2899 + 1.9932\mathrm i\end{align*}
Per a valors més grans de \(n\) serà millor que fem servir una calculadora. A la xarxa es poden trobar moltes calculadores que treballen amb nombres complexos. Però serà millor que fem servir alguna utilitat que permeta fer càlculs recurrents. Amb octave (https://octave-online.net/), la instrucció
for n=1:10 a(n)=(1+i*pi/n)^n; end; a
retorna els deu primers valors de la successió. Evidentment són molt pocs valors i no mostren una tendència clara. Tot i això, si els representem sobre el diagrama d’Argand, curiosament, sí que s’hi fa palesa aquesta tendència (més clarament en el gràfic de la dreta, que mostra els vint primers valors de la successió).
Els punts de la successió semblen situar-se sobre una mena d’espiral que convergeix… però no clarament cap a \(-1\). Fent servir l’octave, per a \(n=1000\) obtenim
octave:2> (1+i*pi/1000)^1000
ans = -1.0049e+00 + 1.0386e-05i
és a dir, \(\left(1+\frac{\pi\mathrm i}{1000}\right)^{1000}\approx=-1.004947 + 0.0000104\mathrm i\). Així que sí que sembla que quan \(n\) es fa gran ens acostem a \(-1\).
Això està molt bé. Però no és una demostració.
La demostració (més o menys) rigorosa
Per no embolicar-nos massa, com que els nombres complexos es poden expressar en forma polar, admetrem que, si tenim una successió de nombres complexos, \(z_n=r_n(\cos \phi_n +\mathrm i\sin \phi_n)\), si \(\lim_{n\rightarrow +\infty} r_n=r\) i \(\lim_{n\rightarrow +\infty} \phi_n=\phi\) llavors \(\lim_{n\rightarrow +\infty} z_n=r(\cos \phi+\mathrm i\sin\phi)\).
Per tant, calcularem els límits del mòdul i l’argument de \(\left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n\).
(a) El mòdul de \(\left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n\) és \(r_n=\left|\left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n\right|=\left|1+\frac{y\mathrm i}{n}\right|^n=\sqrt{\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^n}\) i
\[\lim_{n\rightarrow+\infty} r_n=\left|1+\frac{y\mathrm i}{n}\right|^n=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^n}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^{\frac n2}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{2n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[2n]{\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^{n^2}}=1\]
(això es pot deduir del fet que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{y^2}{n^2}\right)^{n^2}=\mathrm e^{y^2}\) i se sap que, per a qualsevol nombre positiu \(a\), \(\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[2n]{a}=1\), així que \(\lim_{n\rightarrow+ \infty}\sqrt[2n]{\mathrm e^{y^2}}=1\))
(b) Si \(\phi_n\) i \(\psi_n\) són els arguments de \(1+\frac{y\mathrm i}{n}\) i \(z_n=\left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n\) llavors, \(\tan \phi_n=\displaystyle\frac{y}{n}\) i \(\psi_n=n\phi_n\), així que\[\lim_{n\rightarrow +\infty} \psi_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} n\phi_n=\lim_{n\rightarrow +\infty} y\displaystyle\frac{\phi_n}{y/n}=y\lim_{n\rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{\phi_n}{\tan \phi_n}\]
Si demostrem que \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{\phi_n}{\tan \phi_n}=1\), llavors el límit de \(\psi_n=\arg\left(1+\displaystyle\frac{y\mathrm i}n\right)^n\) serà \(y\).
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \displaystyle\frac{\phi_n}{\tan \phi_n}=1\) (demostració)
Si suposem que \(0<x<\pi/2\), l’àrea del sector circular \(OBC\), de radi igual a \(1\) limitat per un arc igual a \(x\) és més gran que la del triangle \(OBC\) i més menuda que la del triangle \(ODC\). És a dir,
\begin{gather*}
\frac{1(\sin x)}{2} < \frac x2 < \frac{1(\tan x)}2
\\ \sin x < x < \tan x \\ \frac{\sin x }{\tan x}<\frac{x}{\tan x}<1 \\ \cos x <\frac{x}{\tan x}<1\end{gather*}
Per a valors negatius de \(x\), si \(-\pi/2<x<0\) s’obté la mateixa relació (tenint en compte que, ara, \(x\), \(\sin x\) i \(\tan x\) són negatius, així que les àrees dels triangles són \( -\frac{\sin x}{2} < -\frac x2 < -\frac{\tan x}2\)).
Anem al càlcul del límit: si \(n\) és gran, la part real de \(\left(1+\frac{b\mathrm i}n\right)\) sempre és igual a \(1\), però la part imaginària, \(b/n\), es va aproximant a zero. Així que, independentment del valor de \(b\), a partir d’algun terme és segur que \(-\pi/2 < b/n < \pi/2\) i, pel que acabem de veure, \[ \cos^2 (b/n) <\frac{b/n}{\tan (b/n)} < 1\]
Quan \(n\) va cap a \(+\infty\), \(b/n\) convergeix a zero, així que el límit del cosinus és \(1\). Llavors, \[1\leq \lim_{n\rightarrow+\infty} \frac{b/n}{\tan (b/n)} \leq 1\] així que, necessàriament, \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty} \displaystyle\frac{b/n}{\tan (b/n)}=1\).
En definitiva, el mòdul i l’argument de \(\left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n\) convergeixen, respectivament, a \(1\) i a \(y\) i podem assegurar que \[\lim_{n\rightarrow+\infty} \left(1+\frac{y\mathrm i}{n}\right)^n=1\left(\cos y+\mathrm i\sin y\right)=\cos y+\mathrm i\sin y\] En particular, per a \(y=\pi\),\[\mathrm e^{\pi\mathrm i}=\cos\pi+\mathrm i\sin\pi=-1+\mathrm i0=-1 \Longrightarrow \mathrm e^{\pi\mathrm i}+1=0\]
