A primera vista semblaria que no deu haver-hi cap relació, entre el nombre \(\mathrm e\) i les funcions cosinus i sinus hiperbòlics. Però, si parem atenció a que el logaritme natural (el logaritme de base \(\mathrm e\)) és igual a l’àrea d’una regió delimitada per la hipèrbola equilàtera \(y=1/x\) (l’àrea delimitada per aquesta corba entre les abscisses \(a\) i \(b\) és igual a \(\log b-\log a\)) i que el cosinus i el sinus hiperbòlics es defineixen a partir de la corba \(x^2-y^2=1\), que en realitat ve a ser la mateixa hipèrbola, ja no resultarà tan estrany.
Perquè hem dit que les corbes \(y=1/x\) i \(x^2-y^2=1\) venen a ser la mateixa? Si el gràfic que representa el cosinus i el sinus hiperbòlics el girem 45º en sentit antihorari,
certament la corba s’assembla molt a la hipèrbola que defineix el logaritme. Per esbrinar si realment són la mateixa corba, haurem de veure com canvien les coordenades de cada punt (i l’equació de la corba) quan fem el gir. Això és ben conegut, si teniu coneixements mínims d’àlgebra lineal, però, si no és així, ho podem deduir fàcilment.
Si fem el gir de 45º llavors, els vectors coordenats, \((1,0)\) i \((0,1)\) es transformen en \(\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)\) i \(\left(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)\), perquè el cosinus i el sinus de 45º són iguals a \(\frac{\sqrt2}2\).
Així, si girem 45º, el punt de coordenades \((a,b)\) es transformarà en \((x,y)=a\left(\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)+b\left(-\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt2}2\right)=\frac{\sqrt2}2\left(a-b,a+b\right)\). O, resolent el sistema d’equacions lineals \[\left.\begin{aligned}\frac{\sqrt2}2(a-b)&=x \\ \frac{\sqrt2}2(a+b)&=y\end{aligned}\right] \Longrightarrow\left[ \begin{aligned}a&=\frac{\sqrt2}2(x+y) \\ b&=\frac{\sqrt2}2(-x+y)\end{aligned}\right.\]
En conseqüència, si el punt \((a,b)\) es troba sobre la corba d’equació \(x^2-y^2=1\), és a dir, si \(a^2-b^2=1\), llavors, \begin{gather*}\left(\frac{\sqrt2}2(x+y)\right)^2-\left(\frac{\sqrt2}2(-x+y)\right)^2=1\\ \frac12\left((x+y)^2-(-x+y)^2\right)=1\\ \frac12\left((x^2+y^2+2xy)-(x^2+y^2-2xy)\right)=1\\ 2xy=1\end{gather*}
És a dir, que la corba \(x^2-y^2=1\), en girar-la, es transforma en \(y=\dfrac1{2x}\), que no és exactament la corba que defineix el logaritme, però s’hi assembla molt. Aquest fet ens va a servir per a trobar les fórmules que ens permeten calcular el sinus i el cosinus hiperbòlics fent servir el nombre \(e\).
Fórmules del cosinus i el sinus hiperbòlics
Sabem que el gir transforma el punt \((a,b)\) en \(\frac{\sqrt2}2\left(a-b,a+b\right)\). Apliquem això als punts que delimiten l’àrea ombrejada per conèixer-ne les noves coordenades; els resultats es mostren a la figura següent.
Ara ja podem trobar fàcilment les fórmules que cerquem. L’àrea que volem calcular és la de la unió de les regions \(A\) i \(B\), és a dir, l’àrea de \(A\cup B\), que és igual a l’àrea de \(A\cup C\cup B\cup D\) menys la de \(C\cup D\). Totes aquestes àrees les podem calcular fàcilment:
- La regió \(A\cup C\) és un triangle de base \(\dfrac{\sqrt2}2\left(\cosh t-\sinh t\right)\) i altura \(\dfrac{\sqrt2}2\left(\cosh t+\sinh t\right)\). Per tant, l’àrea d’aquesta regió és \[\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt2}2\left(\cosh t+\sinh t\right)\dfrac{\sqrt2}2\left(\cosh t-\sinh t\right)\right)=\dfrac14\left(\cosh^2 t-\sinh^2 t\right)=\dfrac14\]
- La regió \(B\cup D\) és com la que defineix el logaritme, però amb la meitat de l’altura (\(y=1/2x\), en comptes de \(y=1/x\)), així que aquesta àrea és igual a \[\dfrac12\left(\log \dfrac{\sqrt2}2-\log\left(\dfrac{\sqrt2}2(\cosh t-\sinh t)\right)\right)=\dfrac12\log\left(\dfrac1{\cosh t-\sinh t}\right)=\dfrac12\log(\cosh t+\sinh t)\] (perquè, com que \(\cosh^2t-\sinh^2 t=1\), \(\left(\cosh t+\sinh t\right)\left(\cosh t-\sinh t\right)\) i \(1/\left(\cosh t-\sinh t\right)=\cosh t+\sinh t\)).
- La regió \(C\cup D\) és un triangle de base i altura iguals a \(\dfrac{\sqrt2}2\). Per tant, l’àrea d’aquesta regió és \[\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^2=\dfrac14\]
En conseqüència, l’àrea que busquem és\[\dfrac t2=\dfrac14+\dfrac12\log(\cosh t+\sinh t)-\dfrac14=\dfrac12\log(\cosh t+\sinh t)\] Per tant,\begin{gather*}t=\log(\cosh t+\sinh t)\\ \mathrm e^t=\cosh t+\sinh t\end{gather*}
I ja quasi hem acabat. D’aquesta igualtat en podem deduir una altra,
\begin{align*}\mathrm e^{-t}&=\frac1{\mathrm e^{t}}=\frac1{\cosh t+\sinh t}\\ \mathrm e^{-t}&=\cosh t-\sinh t\end{align*}
Així que tenim \(\cosh t+\sinh t=\mathrm e^t\) i \(\cosh t-\sinh t=\mathrm e^{-t}\). Sumant aquestes dues igualtats obtenim \(2\cosh t=\mathrm e^t+\mathrm e^{-t}\); i, restant-les, \(2\sinh t=\mathrm e^t-\mathrm e^{-t}\)
Hem demostrat, doncs, que\[ \cosh t=\dfrac{\mathrm e^t+\mathrm e^{-t}}2\qquad \sinh t= \dfrac{\mathrm e^t-\mathrm e^{-t}}2\]
Com dèiem al capítol anterior, hi ha una relació profunda entre les funcions trigonomètriques i el nombre π (perquè tant el nombre π com el cosinus i el sinus estan directament relacionats amb la circumferència). En el cas de la trigonometria hiperbòlica el protagonista és el nombre \(\mathrm e\) (perquè la hipèrbola defineix el logaritme natural).
Els deures
Exercici 1: Demostreu les següents propietats: Per a qualsevol valor de \(x\) i \(y\),
Exercici 2: Al cos del text hem dit que l’àrea delimitada per la funció \(y=1/2t\), l’eix horitzontal i dues abscisses és la meitat de la corresponent a la funció \(y=1/t\). Demostreu-ho (fent-hi servir sumes inferiors i/o sumes superiors).
