L’Algèbre est généreuse, elle donne souvent plus qu’on ne lui demande
Jean le Rond D’Alembert
Le plus court chemin entre deux vérités dans le domaine réel passe par le domaine complexe
Jacques Hadamard
Aquest capítol pot resultar una mica dur, si no esteu prou familiaritzats amb les matemàtiques. En canvi, pels que ja coneixeu els nombres complexos serà una repassadeta senzilla.
L’equació de segon grau
De segur que ho sabeu: les solucions de l’equació \(ax^2+bx+c=0\) són \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\). Per exemple, \[\text{Les solucions de } x^2+x-6=0 \text{ són } x=\frac{-1\pm\sqrt{(1^2-4(1)(-6)}}{2(1)}=\frac{-1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-1\pm5}{2}\text{, és a dir, } x_1=2, x_2=-3\] Dues solucions. Però, de vegades només n’hi ha una, de solució, com ara, en aquest cas: \[\text{Les solucions de } x^2+4x+4=0 \text{ són } x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4(1)(4)}}{2(1)}=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2}=-2\]O no hi cap nombre real que siga solució de l’equació, com en aquest cas:\[\text{Les solucions de } x^2+1=0 \text{ són } x=\frac{0\pm\sqrt{0^2-4(1)(1)}}{2(1)}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}\]
Aquesta expressió no correspon a cap nombre real, perquè, com que el quadrat dels nombres positius és positiu i el quadrat dels nombres negatius també és positiu, és impossible que \(\sqrt{-4}\) siga un nombre real.
Això, que l’equació de segon grau pot tenir dues, una o cap solucions reals ho sabien els matemàtics molt abans del segle XVI i, en principi, no sembla que els preocupara especialment: simplement, hi ha equacions que no tenen solució. Però aleshores van trobar mètodes de resolució de l’equació cúbica que funcionaven si fèiem servir les solucions d’alguna equació que no en tenia.
L’equació de tercer grau i la paradoxa dels nombres inexistents
Scipione del Ferro havia trobat una fórmula per a resoldre algunes equacions cúbiques. Aquesta fórmula implicava l’ús de l’arrel quadrada i, en conseqüència, també portava a solucions impossibles quan apareixien les arrels quadrades d’algun nombre negatiu.
Per exemple, en el cas de l’equació \(x^3=15x+4\), la fórmula de del Ferro donava la solució (impossible) \(x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\). Ara bé, Raffaele Bombelli va notar que, com que \(11^2=121\), aquesta expressió la podem expressar com
\[x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}\]
Llavors, demostrà, usant \(\sqrt{-1}\) com fos un nombre qualsevol, que \((2+\sqrt{-1})^3=2+11\sqrt{-1}\) i, també, \((2-\sqrt{-1})^3=2-11\sqrt{-1}\). Per tant, la presumpta solució seria \[x=\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}=2+\sqrt{-1}+2-\sqrt{-1}=4\]
I resulta que, efectivament, \(x=4\) és una solució de l’equació \(x^3=15x+4\) (\(4^3=64, 15(4)+4=64\)). De manera que, fent servir un nombre inexistent, impossible, imaginari… hem obtingut una solució correcta.
Descartes va anomenar imaginaris els nombres que involucren arrels quadrades de nombres negatius, com ara, \(\sqrt{-1}\) i Euler va inventar la notació \(\mathrm i\) per a aquest nombre (imaginari). Tot i això, probablement fins a mitjan segle XIX, els matemàtics van continuar desconfiant-hi (també és cert que costà molt admetre l’existència dels nombres negatius, dels irracionals i del zero). Actualment cap matemàtic no dubta del fet que els complexos són nombres tan reals com els nombres reals.
Els nombres complexos
Els nombres complexos són una extensió del reals. Com que ens convé calcular arrels quadrades de nombres negatius, afegim un nou nombre que representem com \(\mathrm i\), el quadrat del qual és \(-1\). És clar que \(\mathrm i\) no és un nombre real, perquè els quadrats dels nombres reals no són negatius, així que l’anomenem unitat imaginària. Hi ha la unitat real, \(1\), i la unitat imaginària, \(\mathrm i\).
Però, com que estem parlant de nombres, aquest nou nombre ha de poder sumar-se i multiplicar-se pels altres nombres, així que, si \(a\) i \(b\) són dos nombres reals, \(b\mathrm i\) i \(a+b\mathrm i\) també són nombres. Els anomenarem nombres complexos:
Definició: Un nombre complex, \(z\), és una expressió del tipus \(z=a+b\mathrm i\), on \(a\) i \(b\) són nombres reals.
I els exigirem que puguen sumar-se i multiplicar-se, a més de complir les propietats bàsiques de la suma i la multiplicació: han de ser associatives, commutatives, la multiplicació ha de ser distributiva respecte a la suma, el zero és el neutre de la suma i l’u el de la multiplicació. Tot això vol dir que podem operar amb ells igual que ho fem amb els nombres reals. Per exemple,
\begin{align*}(2+3\mathrm i)+(4-2\mathrm i)&=(2+4)+(3-2)\mathrm i=6+1\mathrm i=6+\mathrm i\\(2+3\mathrm i)-(4-2\mathrm i)&=(2-4)+(3-(-2))\mathrm i=-2+5\mathrm i\\(2+3\mathrm i)(4-2\mathrm i)&=2\cdot4+2(-2\mathrm i)+(3\mathrm i)4+(3\mathrm i)(-2\mathrm i)=8-4\mathrm i+12\mathrm i-6(\mathrm i)^2=8+8\mathrm i-6(-1)=14+8\mathrm i\end{align*}
Aquestes operacions poden ser una mica feixugues, si més no, les primeres vegades que les apliquem, però no deixen de ser simples manipulacions algèbriques. La divisió requereix un truc adicional: anomenem conjugat del nombre \(z=a+b\mathrm i\) al nombre \(\overline z=a-b\mathrm i\). Llavors, si multipliquem un nombre complex pel seu conjugat tindrem \[z\overline z=(a+b\mathrm i)(a-b\mathrm i)=a^2-b^2\mathrm i^2=a^2+b^2\] Així que \(\left(a-b\mathrm i\right)^{-1}=\dfrac{a+b\mathrm i}{a^2+b^2}\) i ja podem dividir:
\[\frac{2+3\mathrm i}{4-2\mathrm i}=(2+3\mathrm i)\frac{4+2\mathrm i}{4^2+2^2}=\frac{8+4\mathrm i+12\mathrm i-6}{20}=\frac{2+16\mathrm i}{20}=\frac1{10}+\frac{4}{5}\mathrm i\]
Equacions polinòmiques
Si retornem als exemples inicials, adoptant ara el punt de vista dels nombres complexos, l’equació \(z^2+1=0\) té dues solucions \[z=\frac{0\pm\sqrt{0^2-4(1)(1)}}{2(1)}=\frac{\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{\pm2\sqrt{-1}}{2}=\pm\mathrm i\] és a dir, \(\mathrm i\) i \(-\mathrm i\). I qualsevol equació de segon grau, \(az^2+bz+c=0\) té les solucions \(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\), que són reals quan \(b^2-4ac\geq 0\) i complexes (no reals) quan \(b^2-4ac<0\).
(He canviat \(x^2+1=0\) per \(z^2+1=0\) perquè és costum usar la lletra \(x\) per a les variables reals i \(z\) per a les complexes)
Un dels resultats més importants de les matemàtiques, conegut com el Teorema Fonamental de l’Àlgebra, és el següent: Tota equació polinòmica \(a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\dots+a_1z+a_0=0\) (on \(a_n\neq 0\)) té alguna solució complexa. Com diu D’Alembert, l’àlgebra és generosa, sovint ens dona més del que li demanem. Inventem els nombres complexos perquè les equacions de segon i tercer grau tinguen solucions i ens trobem que les equacions de qualsevol grau en tenen.
En el cas de l’equació cúbica \(z^3=15z+4\), efectivament, \begin{align*}(2+\mathrm i)^3&=2^3+3\cdot 2^2\mathrm i+3\cdot 2\mathrm i^2+\mathrm i^3=8+12\mathrm i-6-\mathrm i=2+11\mathrm i\\(2-\mathrm i)^3&=2^3+3\cdot 2^2(-\mathrm i)+3\cdot 2(-\mathrm i)^2+(-\mathrm i)^3=8-12\mathrm i-6+\mathrm i=2-11\mathrm i\end{align*} i resulta que \(2+\mathrm i+2-\mathrm i=4\) és una solució real de l’equació. L’equació té els coeficients reals i la solució és real, però el camí per a trobar-la passa pels nombres complexos.
Representació geomètrica
En el nombre complex \(z=a+b\mathrm i\) al nombre \(a\) l’anomenem la part real i, a \(b\), la part imaginària. Això és l’herència del fet que Descartes anomenara imaginaris els nombres complexos, però no s’ha d’interpretar literalment: tan real (o tan imaginària) és l’existència dels nombres \(0,1,17/2\) o \(\pi\) com la de \(12+4\mathrm i\).
Jean Robert Argand, un matemàtic aficionat, natural de Ginebra, va publicar, a principis del segle XIX, el seu Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques, un article en el qual presenta el que avui coneixem com el diagrama d’Argand, una representació gràfica dels nombres complexos que, a més, permet d’interpretar geomètricament les operacions amb complexos.
Com que un nombre complex té una part real i una d’imaginària i sabem representar els nombres reals com una recta, fem el següent: dibuixem dues rectes perpendiculars (una horitzontal, l’altra vertical).
- La recta horitzontal representa els nombres reals (amb el zero en la intersecció de les dues rectes, els positius cap a la dreta, els negatius cap a l’esquerra, com de costum).
- La recta vertical representa els nombres imaginaris purs, és a dir, els de la forma \(0+b\mathrm i\) que escrivim simplement com \(b\mathrm i\); orientats de manera que els \(b\) positius estan a la part de dalt del zero i els negatius a la de baix.
- Cada punt del pla representa un nombre complex: el nombre \(a+b\mathrm i\) és al punt d’intersecció de la recta vertical que passa per \(a\) i la recta horitzontal que passa per \(b\mathrm i\).
El gràfic de la dreta en mostra diversos exemples.
Gràcies al diagrama d’Argand, els nombres complexs no són intuïtivament més abstractes que els reals: els reals els podem veure com els punts d’una recta, els complexos com els punts d’un pla.
La interpretació geomètrica de la suma de dos nombres complexos \(z+w\) i la dels nombres \(-z\) i el conjugat \(\overline z\) es veuen als gràfics següents: els nombres \(0\), \(z\), \(z+w\) i \(w\) són els vèrtexs d’un paraŀlelogram; \(z\) i \(-z\) són simètrics respecte a l’origen; \(z\) i \(\overline z\) són simètrics respecte a l’eix real.
La forma polar
Definicions: La distància (en el diagrama d’Argand) del nombre \(z\) a l’origen s’anomena mòdul o valor absolut de \(z\) i es representa com \(\left|z\right|\); l’angle que fan la part positiva de l’eix real i el segment \(\overline{0z}\) és l’argument de \(z\) (representat com \(\arg z\)).
La imatge mostra la relació que hi ha entre les parts real i imaginària, \(a\) i \(b\), i el mòdul i l’argument, \(\left|z\right|\) i \(\phi\): el cosinus i el sinus de \(\phi\) són iguals a \(a/\left|z\right|\) i \(b/\left|z\right|\), així que \[a={\left| z \right|}{\cos \phi},\qquad b={\left| z \right|}{\sin\phi}\]
Aquestes fórmules ens permeten fer servir les coordenades polars, \(\left|z\right|\) i \(\phi\) en compte de les coordenades cartesianes, \(a\) i \(b\), perquè \[z=a+b\mathrm i=\sqrt{a^2+b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\mathrm i\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)={\left| z \right|}\left({\cos \phi}+\mathrm i\,{\sin\phi}\right)\]
Aquesta expressió l’anomenem la forma polar del nombre \(z\). Per exemple, la forma polar del nombre \(z=2+2\mathrm i\) és \[z={\sqrt{2^2+2^2}}\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)={2\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2\mathrm i\right)\] El zero no té forma polar, perquè no es pot dividir per \(0\) per a obtenir el seu argument (o perquè \(0\) no defineix cap angle en el diagrama d’Argand).
La forma polar és la més adequada per a calcular el producte de dos nombres complexos, perquè és fàcil provar (ho deixem com a exercici) que\[\text{Si } z={\left| z \right|}\left({\cos \phi}+\mathrm i\,{\sin\phi}\right)\text{ i } w={\left| w \right|}\left({\cos \psi}+\mathrm i\,{\sin\psi}\right)\text{ llavors, }zw={\left| zw \right|}\left({\cos (\phi+\psi)}+\mathrm i\,{\sin(\phi+\psi)}\right)\]És a dir, que, per a multiplicar dos nombres complexos es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments. Per exemple,
\[\Big(2\big(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm i\, \sin\frac{\pi}{3}\big)\Big)\Big(3\big(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm i\, \sin\frac{\pi}{6}\big)\Big)=6\Big(\cos(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})+\mathrm i\, \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})\Big)=6\Big(\cos\frac{\pi}{2}+\mathrm i\, \sin\frac{\pi}{2}\Big)=6\mathrm i\]
Com que la multiplicació és fàcil si s’escriuen els nombres en forma polar, calcular-ne potències també resulta senzill: és fàcil comprovar que, si \(z=\left|z\right|(\cos \phi+\mathrm i\sin \phi)\) i \(n\) és un nombre natural, llavors \(z^n=\left|z\right|(\cos n\phi+\mathrm i\sin n\phi)\).
Per exemple, \(\Big(2(\cos \frac{\pi}6+\mathrm i\sin \frac{\pi}6)\Big)^3=2^3(\cos 3\frac{\pi}6+\mathrm i\sin 3\frac{\pi}6)=8(\cos \frac{\pi}2+\mathrm i\sin \frac{\pi}2)=8\mathrm i\)
(el mòdul s’eleva al cub; l’argument es multiplica per \(3\)).
Els deures
Exercici 1: Demostreu que \(\dfrac{\sqrt2}{2}(1+\mathrm i)^2=i\) i, també, \(\dfrac{\sqrt2}{2}(-1-\mathrm i)^2=i\)
Exercici 2: Trobeu totes les solucions (reals o complexes) de les equacions següents:
(a) \(z^2-4=0\)
(e) \(z^2-2z+2=0\)
(b) \(z^2+4=0\)
(f) \(z^2-4z+13=0\)
(c) \(z^2-4\mathrm i=0\)
(f) \(z^3-4z^2+13z=0\)
(d) \(z^2+4\mathrm i=0\)
(g) \(z^4-16=0\)
Exercici 3: Proveu que les arrels enèsimes del nombre \(z=\left|z\right|(\cos \phi+\mathrm i\sin \phi)\) són els nombres \(\sqrt[n]z_k=\left|z\right|\left(\cos \dfrac{\phi+2k\pi}n+\mathrm i\sin \dfrac{\phi+2k\pi}n\right)\), \(k=0,1,2,\dots,n-1\).
Exercici 4: Segons l’exercici anterior, les arrels cinquenes de \(-1\) són els nombres de la forma \(\cos\dfrac{\pi+2k\pi}5+\mathrm i\sin\dfrac{\pi+2k\pi}{5}\), \(k=0,1,2,3,4\). Representeu-les en un diagrama d’Argand. Quina figura geomètrica hi trobeu?
Exercici 5: Trobeu les arrels sisenes de \(1\) i representeu-les en un diagrama d’Argand.
Exercici 6: Resoleu l’equació \(z^3+1=0\).
Exercici 7: Generalitzeu els exercicis 4 i 5 per obtenir una fórmula per a les arrels enèsimes d’un nombre complex i interpreteu geomètricament el resultat.
