Qui més pot té més cultura
ens ho demostra la vida:
el que és treballador suma,
i el que és amo multiplica.
Al Tall
Els logaritmes es van introduir, als segles XVI–XVII, en relació amb els càlculs astronòmics, que requereixen una gran precisió. Diversos matemàtics van notar que es podien posar en correspondència les progressions geomètriques i les aritmètiques, de manera que les multiplicacions es transformaven en sumes. Un d’aquests matemàtics (Neper) inventà el nom de logaritmes per als termes de la progressió aritmètica.
En aquell moment, no sols no hi havia calculadores; ni tan sols no s’havia inventat la notació \(x^n\) per a les potències. Els logaritmes es convertiren immediatament en una eina molt útil pel fet que converteixen les multiplicacions en sumes, les divisions en restes i les potències i les arrels en multiplicacions. La cosa funciona així:
Suposem que hem de calcular el valor de \(x=a^7\sqrt[3]{bc}\) (\(a, b, c\) són tres nombres coneguts).
Cerquem els logaritmes d’aquestes tres nombres en la nostra taula de logaritmes;
llavors, calculem \(y=\log x=7\log a + \frac13(\log b+\log c)\).
Tornem a la taula de logaritmes i hi cerquem el nombre \(x\) el logaritme del qual és \(y\).
En comptes de dues multiplicacions, una potència setena i una arrel cúbica, el que fem són dues sumes, una multiplicació per \(7\) i una divisió per \(3\).
Com que la propietat més important dels logaritmes és que han de convertir les multiplicacions en sumes, aquesta propietat és la que farem servir per definir-los:
Definició: Anomenem logaritme a una funció que té aquestes propietats:
- Tot nombre positiu \(x\) té un logaritme que, de moment, representarem com \(\mathrm{L}(x)\)
- El logaritme del producte és la suma dels logaritmes: \(\mathrm{L}(xy)=\mathrm{L}(x)+\mathrm{L}(y)\)
De la definició s’hi dedueixen aquestes altres propietats:
Propietats:
1. \(\mathbf{L(1)=0}\)
2. \(\mathbf{L\left(\frac xy\right)=\mathrm{L}(x)-\mathrm{L}(y)}\)
3. Si \(\mathbf q\) és un nombre racional llavors, \(\mathbf{\mathrm{L}\left({x^q}\right)=q\mathrm{L}(x)}\)
Si us interessa, ací en teniu una demostració:
- \(\mathrm{L}(1)=0\),
perquè, \(\mathrm{L}(1)=\mathrm{L}(1\cdot1)=\mathrm{L}(1)+\mathrm{L}(1)\Rightarrow \mathrm{L}(1)-\mathrm{L}(1)=\mathrm{L}(1) \Rightarrow 0=\mathrm{L}(1)\) - \(\mathrm{L}\left(\frac xy\right)=\mathrm{L}(x)-\mathrm{L}(y)\),
perquè \(\mathrm{L}(x)=\mathrm{L}\left(y\frac xy\right)=\mathrm{L}(y)+\mathrm{L}\left(\frac xy\right)\Rightarrow \mathrm{L}(x)-\mathrm{L}(y)=\mathrm{L}\left(\frac xy\right)\) - Aquesta propietat la provarem progressivament: en primer lloc per a exponents naturals:
Si \(n=2\), \(\mathrm{L}\left(x^2\right)=\mathrm{L}\left(x\cdot x\right)=\mathrm{L}\left(x\right)+\mathrm{L}\left(x\right)=2\mathrm{L}\left(x\right)\)
Si \(n=3\), \(\mathrm{L}\left(x^3\right)=\mathrm{L}\left(x^2x\right)=2\mathrm{L}\left(x\right)+\mathrm{L}\left(x\right)=3\mathrm{L}\left(x\right)\)
i així successivament (si sou molt de la rigorositat, podeu provar-ho per inducció): Si \(n\) és un nombre natural llavors, \(\mathrm{L}\left(x^n\right)=n\mathrm{L}\left(x\right)\)
Ara ho provarem per al nombre \(1/n\) quan \(n\) és natural: \(\mathrm{L}\left(x\right)=\mathrm{L}\left(\left(x^{1/n}\right)^n\right)=n\mathrm{L}\left(x^{1/n}\right)\Rightarrow \frac{1}{n}\mathrm{L}\left(x\right)=\mathrm{L}\left(x^{1/n}\right)\)
Si \(q=m/n\) és un nombre racional positiu, \(\mathrm{L}\left(x^{m/n}\right)=\mathrm{L}\left(\left(x^m\right)^{1/n}\right) = \frac 1n\log x^m=\frac mn\log x\)
Si \(q=0\), \(\mathrm{L}\left(x^0\right)=\mathrm{L}\left(1\right) =0=0\mathrm{L}\left(x\right)\)
I, finalment, si \(q\) és un nombre racional negatiu, \(\mathrm{L}\left(x^q\right)=\mathrm{L}\left(\frac{1}{x^{-q}}\right)=\mathrm{L}\left(1\right)-\mathrm{L}\left(x^{-q}\right)=0-\mathrm{L}\left(x^{-q}\right)=-\left(-q\mathrm{L}\left(x\right)\right)=q\mathrm{L}\left(x\right)\).
Base dels logaritmes
Tot això està molt bé, però encara no coneixem cap funció logarítmica, perquè l’únic que hem fet és dir quines propietats volem que tinga. En realitat, hi ha moltes funcions logarítmiques.
Definició: Una funció logarítmica té per base el nombre \(a\) (un nombre real positiu i distint de \(1\)) si \(\mathrm{L}(a)=1\).
En comptes de \(\mathrm {L}(x)\), la funció logarítmica de base \(a\) la representarem com \(\log_a x\), per tal de remarcar quina és la base. Llavors, la propietat 3 ens permet calcular els logaritmes en base \(a\) de les potències racionals del nombre \(a\): \[\log_a a^q=q\log_a a=q\]
En altres paraules, si \(x=a^q\), llavors \(\log x=q\). Això, que és cert per als exponents racionals, ho podem estendre a tots els nombres reals:
Definició: Si \(a\) és un nombre real positiu i distint de \(1\) i \(a^y=x\), llavors el logaritme en base \(a\) de \(x\) és \(y\), és a dir, \(\log_a x=y \Longleftrightarrow a^y=x\).
Es pot provar que qualsevol funció logarítmica té una base, és a dir, que si \(L(x)\) és una funció logarítmica, llavors hi ha un nombre \(a\) per al qual \(\mathrm{L}(a)=1\).
Per exemple, en base 10, \(\log_{10} 10^q=q\), així que,
\[\begin{array}{ccccccccc}\dots & \log_{10} 10^{-3}=-3 & \log_{10} 10^{-2}=-2 & \log_{10} 10^{-1}=-1 & \log_{10}{1}=\log_{10} 10^{0}=0 & \log_{10} 10=1 & \log_{10} 10^{2}=2& \log_{10} 10^{3}=3 & \dots \end{array}\]
i, també (per exemple), \( \log_{10} \sqrt{10}=\frac12 \), \( \log_{10} \sqrt[3]{10}=\frac13 \), \( \log_{10} \sqrt[5]{\frac{1}{10^2}}=-\frac{2}5 \).
En el camp de l’electrònica i la informàtica es fa servir els logaritmes en base \(2\), pel fet que el sistema de numeració binari és el més adequat en aquests context (un kilobyte no és equivalent a \(10^3=1000\) bytes, sinó a \(2^{10}=1024\) bytes), perquè el logaritme en base \(2\) d’una potència natural de \(2\) és un nombre enter: els logaritmes dels nombres tan habituals en informàtica com 8, 16, 32, 64, 128, …, 1024, … són \(\log_2 8=3, \log_2 16=4, \log_2 32=5, \log_2 64=6, \log_2 128=7, …, \log_2 1024=10, … \)
(Neper)
El més ben conegut entre els qui els van descobrir és l’escocès John Napier (o Neper, per la versió llatinitzada del seu cognom). Però més o menys simultàniament, el rellotger suís Jobst Bürgi havia realitzat pràcticament el mateix estudi per tal d’ajudar Kepler en els seus càlculs astronòmics, però no va voler publicar-lo. D’altra banda, l’anglès Briggs s’entusiamà amb el treball de Neper i el va convèncer de fer servir la base 10; és per això que alguns anomenen logaritmes de Briggs els logaritmes decimals. Els logaritmes naturals, que trobarem en un proper article d’aquesta sèrie són coneguts (inadequadament) com logaritmes neperians.
Durant uns 300 anys, des de Neper i Briggs fins la popularització de les calculadores científiques i els ordinadors, s’ha fet servir els logaritmes decimals, ço és, els de base 10, per a molts càlculs científics. Als anys 70, quan vaig estudiar el batxillerat (i encara, si més no, a la dècada dels 80), els estudiants teníem un llibre de taules de logaritmes i a la classe de Matemàtiques se’ns ensenyava el seu ús. En l’actualitat, aquest ús ha decaigut, però els logaritmes continuen sent de gran importància per la seua relació amb la funció exponencial i el nombre \(e\). Aquesta relació la trobarem en el proper article de la sèrie, quan trobarem els logaritmes des d’un punt de vista (en aparença) completament diferent.
Els deures
Exercici 1: Per què no té sentit la funció logarítmica de base \(1\)?
Exercici 2: Calculeu aproximadament el logaritme decimal de \(2\), \(\log_{10} 2\) fent servir una calculadora i un mètode d’aproximacions successives: cerqueu una successió de potències de \(10\) que s’aproxime a \(2\) (suggeriment: \(10^{0{,}5}=\sqrt{10}\approx 3{,}16 > 2\), \(10^{0{,}25}\approx 1{,}78 < 2\)…).
Intenteu trobar-hi almenys tres xifres decimals del logaritme.
Calculeu els logaritmes decimals de \(1/2,4,5,8\) i \(20\) fent servir el resultat anterior.
Exercici 3: (a) Proveu que si \(y\) és un nombre real, llavors \(b^y=a^{y\log_a b}\). (b) Proveu que, si \(a\) i \(b\) són dos nombres positius distints de \(1\) i \(x\) és un nombre positiu, llavors \(\log_a x=\log_a b\log_b x\).
