Les raons trigonometriques
Si teniu nocions de trigonometria, sabreu que, en un triangle rectangle \(ABC\), on l’angle \(C\) és recte, si \(a\) i \(b\) són els catets oposats (respectivament) als angles \(A\) i \(B\) i \(c\) és la hipotenusa, el sinus i el cosinus de l’angle \(A\) són
La propietat més important del sinus i el cosinus és aquesta: per a qualsevol valor de l’angle \(A\), \(\cos^2 A+\sin^2A=1\). Això és així pel teorema de Pitàgores: com que \(a^2+b^2=c^2\), \[\cos^2 A+\sin^2 A=\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2}=1\]
Trigonometria circular
En un sistema de coordenades cartesianes, l’equació de la circumfència de centre l’origen de coordenades i radi igual a \(1\) és \(x^2+y^2=1\), perquè la distància del punt \((x,y)\) a \((0,0)\) és \(\sqrt{x^2+y^2}\). Llavors, si \(t\) és la longitud de l’arc comprés entre els punts \((1,0)\) i \((x,y)\), es diu que el cosinus de \(t\) és igual a \(x\) i el sinus de \(t\) és igual a \(y\): \(\cos t=x,\sin t=y\).
Si el punt \((x,y)\) és al primer quadrant, llavors en el triangle de la figura, de vèrtexs \((0,0)\), \((x,0)\) i \((x,y)\), els cosinus i el sinus de l’angle \(\alpha\) són també el cosinus i el sinus del nombre \(t\), perquè \[\cos \alpha=\frac x1= x=\cos t,\qquad \sin\alpha=\frac y1=y=\sin t\]
Sovint, tots (inclosos els matemàtics) confonem el cosinus i el sinus d’un angle amb el cosinus i el sinus d’un nombre (o d’un arc). Però no són ben bé el mateix. Primer de tot, perquè, en principi, només hem definit el sinus i el cosinus d’un angle agut; en canvi, qualsevol nombre real té un sinus i un cosinus.
Graus o radians?
De segur que sabeu mesurar els angles en graus (sexagesimals): un angle recte fa \(90^{\mathrm o}\), un de pla, \(180^{\mathrm o}\) i un de complet, \(360^{\mathrm o}\). Hi ha, però, una mida més útil, si més no, en Anàlisi Matemàtica, que és el radian, o, més ben dit, la longitud de l’arc: com que la longitud d’una circumferència de radi \(r=1\) és \(2\pi r=2\pi\), un angle complet recorre un arc igual a \(2\pi\), un de pla fa un arc igual a \(\pi\) i un de recte, un de \(\pi/2\). Un radian és un arc de longitud igual a \(1\), així que \(360^{\mathrm o}\) equivalen a \(2\pi\) radians, \(180^{\mathrm o}\) a \(\pi\) radians i \(90^{\mathrm o}\) fan \(\pi/2\) radians.
La relació entre la mesura dels angles en radians o en graus és òbvia: com que 180 graus és el mateix que \(\pi\) radians, \(180^{\mathrm o}=\pi\,\text{rad}\), és a dir, que \(x\) graus equivalen a \(x/180\) radians: \(x^{\mathrm o}=\frac{\pi}{180}\,\text{rad}\). Els exemples més interessants són aquests:\[0^{\mathrm o}=0\,\text{rad}\quad 30^{\mathrm o}=\frac{\pi}{6}\,\text{rad}\quad 45^{\mathrm o}=\frac{\pi}{4}\,\text{rad}\quad 60^{\mathrm o}=\frac{\pi}{3}\,\text{rad}\quad 90^{\mathrm o}=\frac{\pi}{2}\,\text{rad}\quad 180^{\mathrm o}=\pi\,\text{rad}\quad 360^{\mathrm o}=2\pi\,\text{rad}\]
Si no diem el contrari, se suposa que els angles els mesurem en radians: \(\sin t^{\mathrm o}\) és el sinus de \(t\) graus, però \(\sin t\) és el sinus de \(t\) radians.
Imaginem que un home camina sobre una circumferència, per exemple, de radi igual a un quilòmetre. Al vídeo següent, el gràfic de l’esquerra mostra la posició d’aquest home en cada instant: quan ha recorregut \(t\) quilòmetres es troba en el punt de coordenades \((\cos t,\sin t)\); els dos gràfics i els comentaris de la dreta mostren els valors corresponents del cosinus i del sinus. Noteu que quan l’home haurà recorregut \(2\pi\approx6{,}28\) quilòmetres, haurà donat tota la volta i es trobarà de nou en el punt de partida. Si continua caminant, tornarà a passar pels mateixos punts; això significa que el cosinus i el sinus són funcions periòdiques amb un període igual a \(2\pi\).
Com hem vist al vídeo, aquestes són les gràfiques del cosinus i del sinus:
Els radians també mesuren àrees
Els radians són la mida de la longitud dels arcs; però també podem interpretar-los com l’àrea dels sectors circulars: com que l’àrea del cercle de radi \(r=1\) és \(\pi r^2=\pi\), una simple regla de tres mostra que a un arc de longitud igual a \(t\) li correspon un sector de superfície igual a \(\frac{t}{2}\).
Aquest punt de vista és el que ens convé adoptar a l’apartat pròxim.
\[\left.\begin{array}{ccc} \text{long. d’arc} & &\text{àrea del sector}\\ 2\pi & \rule{10mm}{0.4pt} & \pi\\ t & \rule{10mm}{0.4pt} & A\\\end{array}\right] \longrightarrow A=\frac{t\pi}{2\pi}=\frac{t}{2}\]
Les funcions hiperbòliques
Si, en comptes de fer servir la circumferència de radi igual a \(1\), \(x^2+y^2=1\) dibuixem un triangle sobre la hipèrbola \(x^2-y^2=1\), parlarem del cosinus i el sinus hiperbòlics.
En la trigonometria circular, quan l’àrea del sector circular és igual a \(t/2\), el cosinus i el sinus de \(t\) són les coordenades del vèrtex \(B\), que es troba sobre la circumferència \(x^2+y^2=1\). De manera anàloga, el cosinus i el sinus hiperbòlics són les coordenades del vèrtex \(B\), que es troba sobre la branca dreta de la hipèrbola \(x^2-y^2=1\), quan l’àrea del sector hiperbòlic és igual a \(t/2\). El vídeo següent mostra com varien el cosinus i el sinus hiperbòlics a mesura que ens movem sobre la hipèrbola i, simultàniament, les gràfiques d’aquestes dues funcions.
Les gràfiques del cosinus i del sinus hiperbòlics són aquestes:
Per a cada propietat del sinus i el cosinus en podem trobar una de paraŀlela en el sinus i el cosinus hiperbòlics. Això és una conseqüència òbvia de la manera en què els hem costruït. La primera (i la més important) de totes és, per suposat, aquesta:
\[\cos^2 t+\sin^2 t=1\qquad\cosh^2 t-\sinh^2 t=1\]
Ara per ara no les justificarem. Únicament en mostrem algunes per veure’n el paral·lelisme:
No totes les propietats de les funcions trigonomètriques, però, en tenen una de paraŀlela en les funcions hiperbòliques. Els casos més evidents són aquests: el sinus i el cosinus són funcions periòdiques però el sinus i el cosinus hiperbòlics no ho són; el sinus i el cosinus són fitats (\(-1\leq\sin t,\cos t\leq 1\)) però el sinus i el cosinus hiperbòlics no ho són. Bé, en realitat, la qüestió és una mica més complexa.
És clara la relació profunda entre les funcions trigonomètriques i el nombre π. Al proper capítol veurem que en el cas de la trigonometria hiperbòlica el protagonista és el nombre \(\mathrm e\).
