A primera vista semblaria que no deu haver-hi cap relació, entre el nombre e i les funcions cosinus i sinus hiperbòlics. Però, si parem atenció a que el logaritme natural (el logaritme de base e) és igual a l’àrea d’una regió delimitada per la hipèrbola equilàtera y=1/x i que les funcions hiperbòliques també es defineixen a partir d’una hipèrbola, potser ja no resultarà tan estrany.
Una fórmula perfecta. Capítol desè: Trigonometria circular i trigonometria hiperbòlica
Si teniu nocions de trigonometria, sabreu que, en un triangle rectangle ABC, on l’angle C és recte, si a i b són els catets oposats (respectivament) als angles A i B i c és la hipotenusa, el sinus i el cosinus de l’angle A són els quocients a/c i b/c.
Una fórmula perfecta. Capítol novè: El logaritme natural
Saint-Vincent va provar que si b/a=d/c, l’àrea delimitada per la corba y=1/x i l’eix x entre les abscisses x=a i x=b i l’àrea anàloga entre les abscisses x=c i x=d són iguals.
Alfonso Antonio de Sarasa, deixeble de Saint-Vincent, se’n va adonar que la propietat descoberta pel seu mestre significa que aquesta funció és un logaritme.
Una fórmula perfecta. Capítol vuitè: Una mica de càlcul integral
Definitivament, la història dels logaritmes és una història de frares cristians. Potser per això, com que els camins del Senyor són inescrutables, el treball d’un jesuïta, que no estava interessat en els logaritmes sinó en el càlcul d’àrees, és a l’origen del punt de vista modern a prop dels logaritmes (la qual cosa, probablement hauria enfurismat Neper, atesa la seua radical militància antipapista).
Una fórmula perfecta. Capítol setè: Per què e?
El nombre e l’hem trobat quan passem de l’interès compost al continu. Però, ben mirat, aquest nombre apareix sempre que ens trobem amb una funció que creix (o decreix) proporcionalment al seu propi valor, especialment en tots els processos relacionats amb el creixement o el decreixement.
Una fórmula perfecta. Capítol sisé: Logaritmes
Els logaritmes es van introduir, als segles XVI–XVII, en relació amb els càlculs astronòmics, que requereixen una gran precisió. Diversos matemàtics van notar que es podien posar en correspondència les progressions geomètriques i les aritmètiques, de manera que les multiplicacions es transformaven en sumes. Un d’aquests matemàtics (Neper) inventà el nom de logaritmes per als termes de la progressió aritmètica.
Una fórmula perfecta. Capítol cinqué: la funció exponencial
En aquesta fórmula no és necessari que n siga un nombre exacte d’anys: és vàlida igualment si n és un nombre enter (un any, dos anys o vint-i-cinc anys) com si l’apliquem a dos anys i mig (n=2,5=5/2) a dos anys i tres mesos (n=2,25=9/4) o a 3 anys, 51 dies, 16 hores, 21 minuts i 5 segons (3,1415926 anys).
Una fórmula perfecta. Capítol quart: Potències de base i exponent reals
Si a i b són dos nombres, què vol dir aᵇ? Probablement, sabeu què és 3⁵; o, fins i tot, 2⁻²/³. Però i √2ᵉ?
Una fórmula perfecta. Capítol tercer: el nombre e
El nombre e és un altre gran protagonista de les matemàtiques. El trobem, com veurem en aquest capítol, en estudiar l’interès compost. Però també és la base dels logaritmes naturals i és ben important en el càlcul diferencial i integral, en l’expressió polar dels nombres complexos (que és el que ens interessa per justificar la fórmula d’Euler).
Una fórmula perfecta. Capítol segon: El nombre π
Hi ha coses que romanen gravades a la nostra memòria, sense que hi haja una raó que ho justifique. Això és el que em passa a mi amb el nombre π. O, més ben dit, amb el nom del nombre π. A l’escola, abans de començar el batxillerat elemental (parle de la prehistòria, quan començàvem el batxillerat als 10 anys).