Si \(a\) i \(b\) són dos nombres, què vol dir \(a^b\)? Probablement, sabeu què és \(3^5\); o, fins i tot, \(2^{-3/2}\). Però i \(\sqrt{2}^{\mathrm e}\)?
La resposta és ben fàcil quan \(b\) (l’exponent) és un nombre natural: \(a^b\) és el producte de \(b\) factors iguals a \(a\). Per exemple, \(3^5=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=243\). A partir d’ací, és ben fàcil d’estendre les potències a exponents enters o racionals.
Per a fer-ho, convé que tinguem en compte que la propietat fonamental de les potències és aquesta: \(a^{b+c}=a^ba^c\). Això és evident, ara que només coneixem les potències d’exponent natural; per exemple, si multipliquem \(a^5\) (cinc factors iguals a \(a\)) per \(a^2\) (dos factors iguals a \(a\)) obtindrem el mateix resultat que si multipliquem set factors iguals a \(a\): \(a^5a^2=a^7\).
Com aquesta és la propietat important, quan definim les potències amb exponents enters o racionals, caldrà conservar-la: necessitem que
- \(a^3a^0=a^{3+0}=a^3\). Per tant, ha de ser \(a^0=1\) (sempre que \(a\) no siga igual a zero, perquè \(0^30^0=0^{3+0}=0^3\) és el mateix que \(0\cdot0^0=0\) i d’ací no es pot deduir res a prop de \(0^0\)).
- \(a^3a^{-2}=a^{3+(-2)}=a^1=a\). Per tant, cal que \(a^{-2}=\frac{a}{a^3}=\frac{a}{a\cdot a\cdot a}=\frac{1}{a^2}\). En general, \(a^{-n}=\frac1{a^{n}}\).
Així ja hem estés les potències a qualsevol exponent enter: per exemple, \(a^2=a\cdot a, a^0=1, a^{-3}=\frac1{a^3}\).
Continuant amb les mateixes idees, mirem d’estendre les potències a exponents racionals. Volem que \(a^{3/2}a^{3/2}=a^{3/2+3/2}=a^3\), és a dir, \(\left(a^{3/2}\right)^2=a^3\). Així que \(a^{3/2}\) podria ser igual a \(\sqrt{a^3}\) o bé a \(-\sqrt{a^3}\). Com que no hi ha cap raó per elegir el signe negatiu, triarem \(a^{3/2}=\sqrt{a^3}\). Encara queda, però, un petit inconvenient: si \(a\) és un nombre real negatiu, l’arrel quadrada de \(a\) no existeix (o no és un nombre real), així que, si més no, de moment, direm que, si \(a\) és un nombre real no negatiu, llavors \(a^{3/2}=\sqrt{a^3}\).
En general, si \(m/n\) és un nombre racional i \(a\geq0\), definim \(a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}\).
Podeu demostrar fàcilment que, amb aquesta definició, continua sent cert que \(a^{b+c}=a^ba^c\).
I quan l’exponent no és racional? Què vol dir \(\sqrt{2}^{\mathrm e}\)? La resposta no és, intuïtivament, gaire complicada (tot i que, si volem rigor, requereix molta artilleria analítica): qualsevol nombre real es pot aproximar tant com es vulga amb nombres racionals; és a dir, que un nombre real sempre es pot trobar con el límit d’una successió de nombres racionals, així que quan \(a\geq0\) i \(b\) són dos nombres reals, podem definir \(a^b\) com el límit de la successió \(a_n^{b_n}\), on \(a_n\) i \(b_n\) són dues successions de nombres racionals que tenen per límit, respectivament, \(a\) i \(b\).
En el cas de \(\mathrm e\) i \(\sqrt2\),
- \(\sqrt2\) és el límit de la successió \(a_0=1,a_1=1{,}4,a_2=1{,}41,a_3=1{,}414,a_4=1{,}4142,a_5=1{,}41421,a_6=1{,}414213,\dots\)
- \(\mathrm e\) és el límit de \(b_0=2,b_1=2{,}7,b_2=2{,}71,b_3=2{,}718,b_4=2{,}7182,b_5=2{,}71828,b_6=2{,}718281,\dots\)
Llavors, \(\sqrt2^{\mathrm e}\) és el límit de la successió \(a_n^{b_n}\), és a dir, \(1^2,1{,}4^{2{,}7},1{,}41^{2{,}71},\dots\) i podem aproximar, per exemple, com \(\sqrt2^{\mathrm e}\approx 1{,}4142^{2{,}7182}=2.5651…\) (en realitat, \(\sqrt2^{\mathrm e}=2.5653…\), així que aquesta aproximació no està gens malament).
Fent servir les propietats dels límits es podria provar que la propietat fonamental, \(a^{b+c}=a^ba^c\), és vàlida també quan treballem amb nombres reals.
Encara no sabem què és \(a^b\) quan \(b\) és un nombre complex, així que no podem calcular, per exemple, \(\mathrm e^{\pi\mathrm i}\) (que és el que ens interessa en aquesta sèrie d’articles!).
Els deures
Exercici 1: Demostreu que el nombre \(2^{1/2}=\sqrt2\) és irracional, fent servir el mètode de reducció a l’absurd, és a dir, suposeu que \(\sqrt2\) és racional i demostreu que això és absurd, perquè condueix a una contradicció:
- Si \(\sqrt2\) fos racional,
- el podríem expressar com una fracció irreductible: \(\sqrt2=m/n\), on \(m\) i \(n\) no tenen divisors comuns.
- Deduïu que \(2n^2=m^2\)
- Proveu que \(m\) i \(n\) són nombres parells (quina relació hi ha entre els divisors primers de \(n\) i els de \(n^2\)?).
- Justifiqueu que heu arribat a una contradicció.
Aquest resultat és molt important, perquè prova que els nombres irracionals són necessaris: en un triangle rectangle amb els dos catets iguals a \(1\), segons el Teorema de Pitàgores, la longitud de la hipotenusa és \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\). Per tant, hi ha longituds que no es poden mesurar de manera exacta fent servir únicament els nombres racionals.
